$$\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$$$$\sqrt{1+\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}\sqrt[p]{1+a^2}}$$$$\sqrt{1+\sqrt{1+a^2}}$$